Rumus-rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua SudutSelanjutnya, perhatikanlah gambar di samping. Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,
Dengan mengingat kembali tentang koordinat
Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)
AC = BD maka AC2 + DB2{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2 A +
sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A
2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Rumus cosinus jumlah dua sudut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))
cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Untuk memahami penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, pelajarilah
contoh soal berikut.
Contoh soal:
Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan
cos (A – B).
Penyelesaian:
cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13
sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25
cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 − 288/325
= − 253/325
cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 + 288/325
= 323/325
2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan rumus berikut ini.
Maka rumus sinus jumlah dua sudut:
Dengan cara yang sama, maka:
sin (A – B) = sin {A + (–B)}
= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
= sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin BPerhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami tentang penggunaan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.
Contoh soal:
Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).
Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
= –36/65 – 20/65
= – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
= –36/65 + 20/65
= – 16/65
3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua SudutRumus tangen jumlah dua sudut:
Pelajarilah contoh soal berikut agar kamu memahami penggunaan rumus tangen jumlahdan selisih dua sudut.
Contoh soal:
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian:
tan 105° = tan (60 + 45)°
= tan 60° tan 45° 1 tan60 tan45
Tidak ada komentar:
Posting Komentar